Aufgabe 9
Das zeitliche Verhalten der Komponenten der Populationsvektoren (Gruppe A: $x(t):=x^A_1(t)$ und Gruppe B: $y(t):=x^B_1(t)$) wird in der Reproduktionsdynamik mittels des folgenden Systems von Differentialgleichungen beschrieben:
\[
\begin{eqnarray}
\frac{d x(t)}{dt} &=& \left[
\left( \$^A_{11} + \$^A_{22} - \$^A_{12} - \$^A_{21} \right) \,y(t) + \left( \$^A_{12} - \$^A_{22}\right) \right] \,\left( x(t) - \left( x(t) \right)^2 \right) \, =: \, g_A(x,y) \qquad \\
\frac{d y(t)}{dt} &=& \left[ \left( \$^B_{11} + \$^B_{22} - \$^B_{12} - \$^B_{21} \right) \,x(t) + \left( \$^B_{12} - \$^B_{22}\right) \right] \,\left( y(t) - \left( y(t) \right)^2 \right) \, =: \, g_B(x,y)
\end{eqnarray}
\]
Das durch die folgende Auszahlungstabelle definierte Bimatrix Spiel gehört der Klasse der Zentrumsspiele an.
Der Populationsvektor zur Zeit t=0 sei (x(0)=0.7 , y(0)=0.4). Wählen Sie die noch offenen Werte der Auszahlungsmatrix ($c_A$ und $c_B$) so, dass sich das gemischte Nash-Gleichgewicht des Spiels bei $x^{\star}=\tilde{s}^{A\star}=$ und $y^{\star}=\tilde{s}^{B\star}=$ befindet. Berechnen Sie dann die Zeit $\Delta T$, die die Population benötigt um wieder zu ihrer Anfangskonfiguration zurück zu kehren: x(0) = x($\Delta T$) und y(0) = y($\Delta T$). Tragen Sie bitte die berechneten Werte in die unteren Eingabenfelder ein
$c_A$ = , $c_B$ =
$\Delta T$ =
und vergleichen Sie indem Sie den folgenden Button drücken.
| A/B | $s^B_1$ | $s^B_2$ |
|---|---|---|
| $s^A_1$ | ( 8 , 8 ) |
( 6 , $c_B$ ) |
| $s^A_2$ | ( $c_A$ , 4 ) |
( 5 , 5 ) |
Der Populationsvektor zur Zeit t=0 sei (x(0)=0.7 , y(0)=0.4). Wählen Sie die noch offenen Werte der Auszahlungsmatrix ($c_A$ und $c_B$) so, dass sich das gemischte Nash-Gleichgewicht des Spiels bei $x^{\star}=\tilde{s}^{A\star}=$ und $y^{\star}=\tilde{s}^{B\star}=$ befindet. Berechnen Sie dann die Zeit $\Delta T$, die die Population benötigt um wieder zu ihrer Anfangskonfiguration zurück zu kehren: x(0) = x($\Delta T$) und y(0) = y($\Delta T$). Tragen Sie bitte die berechneten Werte in die unteren Eingabenfelder ein
$c_A$ = , $c_B$ =
$\Delta T$ =
und vergleichen Sie indem Sie den folgenden Button drücken.
Qualitative Veranschaulichung der Aufgabenstellung
$c_A = $ und $c_B = $
und die Zeit eines Umlaufes des Populationsvektors beträgt
$\Delta T = $
Lösung
Die Werte der Auszahlungsmatrix betragen$c_A = $ und $c_B = $
und die Zeit eines Umlaufes des Populationsvektors beträgt
$\Delta T = $