3.2 Gedämpfter harmonischer Oszillator

Die Bewegungsgleichung des gedämpften Oszillators lautet

Mit dem Ansatz

erhält man die charakteristische Gleichung

Bestimmung der beiden möglichen Exponenten

Die allgemeine Lösung lautet dann

Abbildung 3.5: Realisierung eines Stoßdämpfers. Reibung durch Viskosität der Kolbenflüssigkeit.

Zur weiteren Diskussion wollen wir die folgenden Fälle unterscheiden

(1)

Überdämpfter Fall:
In diesem Fall sind die Exponenten reell und negativ. Man erhält für und aus den Anfangsbedingungen

Abbildung 3.6: Überdämpfter oder Kriechfall für und .

In diesem Fall ist die Lösung eine abfallende Exponentialfunktion: der Massenpunkt ''kriecht'' aus seiner Anfangsauslenkung in unendlicher Zeit in die Gleichgewichtslage.

(2)

Aperiodischer Grenzfall:

Abbildung 3.7: Aperiodischer Grenzfall.

In diesem Fall müssen wir ein Fundamentalsystem konstruieren, da wir nur eine Lösung erhalten.
Beh.: ist ebenfalls eine Lösung.
Einsetzen in die Differentialgleichung mit

zeigt, dass ebenfalls eine Lösung der Differentialgleichung ist. Wir erhalten die allgemeine Lösung für den aperiodischen Grenzfall

und die physikalisch realisierte Lösung unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen

(3)

Oszillatorlösung: . Für komplexwertige Exponenten erhalten wir für die allgemeine Lösung ein oszillatorisches Verhalten

Mit den Anfangsbedingungen ergibt sich dann

Abbildung 3.8: Oszillatorlösung

Bemerkungen:

(i)

Die Periode des gedämpften Oszillators unterscheidet sich von der Periode des freien Oszillators je stärker die Reibung ist. Es gilt und für den Fall gilt (aperiodischer Grenzfall).

(ii)

Ein Maß für die Dämpfung ist die Abklingzeit . Nach der Zeit ist die Amplitude auf des Anfangswertes abgefallen.

(iii)

Man definiert den Quotient aus den beiden Zeitkonstanten des Systems, nämlich und , als Qualitätsfaktor oder Q-Wert des Oszillators,

Oszillator
Mechanisches Pendel
Stimmgabel
FM Tuner
angeregtes Atom

Im Falle des angeregten Atoms ist das Maß für die Lebensdauer des Zustandes und die Anregungsenergie.

(iv)

Für die Energie des gedämpften Oszillators erhält man in Analogie zu Abschnitt 3.2 mit

Ist die Reibung schwach, gilt und , so dass wir die Energie approximieren können

Wie zu erwarten nimmt die mechanische Gesamtenergie in einem dissipativen Oszillator mit der Zeit exponentiell ab. Eine Periode später erhält man für die Gesamtenergie

Generell gilt für zwei benachbarte Perioden für den Energieverlust

bzw. für den prozentualen (relativen) Energieverlust

Die Periode des gedämpften Oszillators ist (binomische Entwicklung von

Bei schwacher Dämpfung erhält man somit

d.h. der inverse Q-Wert eines Oszillators ist ein Maß für den Energieverlust pro Periode.